2017年高考數(shù)學(xué)提分專項(xiàng)練習(xí)題及答案(1)

　　一、選擇題

　　1.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0,1表示沒有擊中目標(biāo)，2,3,4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：

　　7527　0293　7140　9857　0347　4373　8636　6947

　　1417　4698　0371　6233　2616　8045　6011　3661

　　9597　7424　7610　4281

　　根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為(　　)

　　A.0.852

　　B.0.819 2

　　C.0.8

　　D.0.75

　　答案：D　命題立意：本題主要考查隨機(jī)模擬法，考查考生的邏輯思維能力.

　　解題思路：因?yàn)樯鋼?次至多擊中2次對(duì)應(yīng)的隨機(jī)數(shù)組為7140,1417,0371,6011,7610，共5組，所以射擊4次至少擊中3次的概率為1-=0.75，故選D.

　　2.在菱形ABCD中，ABC=30°，BC=4，若在菱形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1的概率是(　　)

　　A. 1/2

　　B.2

　　C. -1

　　D.1

　　答案：D　命題立意：本題主要考查幾何概型，意在考查考生的運(yùn)算求解能力.

　　解題思路：如圖，以菱形的四個(gè)頂點(diǎn)為圓心作半徑為1的圓，圖中陰影部分即為到四個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1的區(qū)域，由幾何概型的概率計(jì)算公式可知，所求概率P==.

　　3.設(shè)集合A={1,2}，B={1,2,3}，分別從集合A和B中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b，確定平面上的一個(gè)點(diǎn)P(a，b)，記“點(diǎn)P(a，b)落在直線x+y=n上”為事件Cn(2≤n≤5，nN) ，若事件Cn的概率最大，則n的所有可能值為(　　)

　　A.3

　　B.4

　　C.2和5

　　D.3和4

　　答案：D　解題思路：分別從集合A和B中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)，確定平面上的一個(gè)點(diǎn)P(a，b)，則有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6種情況，a+b=2的有1種情況，a+b=3的有2種情況，a+b=4的有2種情況，a+b=5的有1種情況，所以可知若事件Cn的概率最大，則n的所有可能值為3和4，故選D.

　　4.記a，b分別是投擲兩次骰子所得的數(shù)字，則方程x2-ax+2b=0有兩個(gè)不同實(shí)根的概率為(　　)

　　A. 3/4

　　B.1/2

　　C. 1/3

　　D.1/4

　　答案：B　解題思路：由題意知投擲兩次骰子所得的數(shù)字分別為a，b，則基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36個(gè).而方程x2-ax+2b=0有兩個(gè)不同實(shí)根的條件是a2-8b>0，因此滿足此條件的基本事件有：(3,1)，(4,1)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，共有9個(gè)，故所求的概率為=.

　　5.在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別為a，b，則使得函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+π2有零點(diǎn)的概率為(　　)

　　A.1-

　　B.1-

　　C.1-

　　D.1-

　　答案：B　解題思路：函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+π2有零點(diǎn)，需Δ=4a2-4(-b2+π2)≥0，即a2+b2≥π2成立.而a，b[-π，π]，建立平面直角坐標(biāo)系，滿足a2+b2≥π2的點(diǎn)(a，b)如圖陰影部分所示，所求事件的概率為P===1-，故選B.

　　6.袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球和3個(gè)黑球.從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于(　　)

　　A.5/6

　　B.11/12

　　C. 1/2

　　D.3/4

　　答案：B　解題思路：將同色小球編號(hào)，從袋中任取兩球，所有基本事件為：(紅，白1)，(紅，白2)，(紅，黑1)，(紅，黑2)，(紅，黑3)，(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白1，黑3)，(白2，黑1)，(白2，黑2)，(白2，黑3)，(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，共有15個(gè)基本事件，而為一白一黑的共有6個(gè)基本事件，所以所求概率P==.故選B.

　　二、填空題

　　7.已知集合表示的平面區(qū)域?yàn)?Omega;，若在區(qū)域Ω內(nèi)任取一點(diǎn)P(x，y)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足不等式x2+y2≤2的概率為________.

　　答案：　命題立意：本題考查線性規(guī)劃知識(shí)以及幾何概型的概率求解，正確作出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是解答本題的關(guān)鍵，難度中等.

　　解題思路：如圖陰影部分為不等式組表示的平面區(qū)域，滿足條件x2+y2≤2的點(diǎn)分布在以為半徑的四分之一圓面內(nèi)，以面積作為事件的幾何度量，由幾何概型可得所求概率為=.

　　8.從5名學(xué)生中選2名學(xué)生參加周六、周日社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生甲被選中而學(xué)生乙未被選中的概率是________.

　　答案：　命題立意：本題主要考查古典概型，意在考查考生分析問題的能力.

　　解題思路：設(shè)5名學(xué)生分別為a1，a2，a3，a4，a5(其中甲是a1，乙是a2)，從5名學(xué)生中選2名的選法有(a1，a2)，(a1，a3) ，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)，共10種，學(xué)生甲被選中而學(xué)生乙未被選中的選法有(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，共3種，故所求概率為.

　　9.已知函數(shù)f(x)=kx+1，其中實(shí)數(shù)k隨機(jī)選自區(qū)間，則對(duì)x∈[-1,1]，都有f(x)≥0恒成立的概率是________.

　　答案：　命題立意：本題主要考查幾何概型，意在考查數(shù)形結(jié)合思想.

　　解題思路：f(x)=kx+1過定點(diǎn)(0,1)，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)且僅當(dāng)k[-1,1]時(shí)滿足f(x)≥0在x[-1，1]上恒成立，而區(qū)間[-1,1]，[-2,1]的區(qū)間長度分別是2,3，故所求的概率為.

　　10.若實(shí)數(shù)m，n{-2，-1,1,2,3}，且m≠n，則方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的概率是________.

　　解題思路：實(shí)數(shù)m，n滿足m≠n的基本事件有20種，如下表所示.

　　-2 -1 1 2 3 -2 (-2，-1) (-2,1) (-2,2) (-2,3) -1 (-1，-2) (-1,1) (-1,2) (-1,3) 1 (1，-2) (1，-1) (1,2) (1,3) 2 (2，-2) (2，-1) (2,1) (2,3) 3 (3，-2) (3，-1) (3,1) (3,2) 其中表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的事件有(-2,1)，(-2,2)，(-2,3)，(-1,1)，(-1,2)，(-1,3)，共6種，因此方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的概率為P==.

　　三、解答題

　　11.袋內(nèi)裝有6個(gè)球，這些球依次被編號(hào)為1,2,3，…，6，設(shè)編號(hào)為n的球重n2-6n+12(單位：克)，這些球等可能地從袋里取出(不受重量、編號(hào)的影響).

　　(1)從袋中任意取出1個(gè)球，求其重量大于其編號(hào)的概率;

　　(2)如果不放回地任意取出2個(gè)球，求它們重量相等的概率.

　　命題立意：本題主要考查古典概型的基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生的計(jì)算能力.

　　解析：(1)若編號(hào)為n的球的重量大于其編號(hào)，則n2-6n+12>n，即n2-7n+12>0.

　　解得n<3或n>4.所以n=1,2,5,6.

　　所以從袋中任意取出1個(gè)球，其重量大于其編號(hào)的概率P==.

　　(2)不放回地任意取出2個(gè)球，這2個(gè)球編號(hào)的所有可能情形為：

　　1,2;1,3;1,4;1,5;1,6;

　　2,3;2,4;2,5;2,6;

　　3,4;3,5;3,6;

　　4,5;4,6;

　　5,6.

　　共有15種可能的情形.

　　設(shè)編號(hào)分別為m與n(m，n{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)的球的重量相等，則有m2-6m+12=n2-6n+12，

　　即有(m-n)(m+n-6)=0.

　　所以m=n(舍去)或m+n=6.

　　滿足m+n=6的情形為1,5;2,4，共2種情形.

　　故所求事件的概率為.

　　12.一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4.

　　(1)從袋中隨機(jī)抽取一個(gè)球，將其編號(hào)記為a，然后從袋中余下的三個(gè)球中再隨機(jī)抽取一個(gè)球，將其編號(hào)記為b，求關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的概率;

　　(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)記為m，將球放回袋中，然后從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)記為n.若以(m，n)作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，求點(diǎn)P落在區(qū)域內(nèi)的概率.

　　命題立意：(1)不放回抽球，列舉基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，注意不要出現(xiàn)重復(fù)的號(hào)碼;(2)有放回抽球，列舉基本事件的個(gè)數(shù)時(shí)，可以出現(xiàn)重復(fù)的號(hào)碼，然后找出其中隨機(jī)事件含有的基本事件個(gè)數(shù)，按照古典概型的公式進(jìn)行計(jì)算.

　　解析：(1)設(shè)事件A為“方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根”.

　　當(dāng)a>0，b>0時(shí)，方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的充要條件為a≥B.以下個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值.基本事件共12個(gè)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3).

　　事件A中包含6個(gè)基本事件：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3).

　　事件A發(fā)生的概率為P(A)==.

　　(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，放回后再從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，點(diǎn)P(m，n)的所有可能情況為：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè).

　　落在區(qū)域內(nèi)的有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共4個(gè)，所以點(diǎn)P落在區(qū)域內(nèi)的概率為.

　　13.某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖.

　　(1)求圖中實(shí)數(shù)a的值;

　　(2)若該校高一年級(jí)共有學(xué)生640人，試估計(jì)該校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù);

　　(3)若從數(shù)學(xué)成績?cè)赱40,50)與[90,100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的值不大于10的概率.

　　命題立意：本題以頻率分布直方圖為載體，考查概率、統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.

　　解析：(1)由已知，得10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，

　　解得a=0.03.

　　(2)根據(jù)頻率分布直方圖可知，成績不低于60分的頻率為1-10×(0.005+0.01)=0.85.

　　由于該校高一年級(jí)共有學(xué)生640人，利用樣本估計(jì)總體的思想，可估計(jì)該校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)約為640×0.85=544.

　　(3)易知成績?cè)赱40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.05=2，這2人分別記為A，B;成績?cè)赱90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1=4，這4人分別記為C，D，E，F(xiàn).

　　若從數(shù)學(xué)成績?cè)赱40,50)與[90,100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，則所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15個(gè).

　　如果2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績都在[40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)或都在[90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，那么這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的值一定不大于10.如果一個(gè)成績?cè)赱40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)，另一個(gè)成績?cè)赱90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)，那么這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的值一定大于10.

　　記“這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的值不大于10”為事件M，則事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共7個(gè).

　　所以所求概率為P(M)=.

　　14.新能源汽車是指利用除汽油、柴油之外其他能源的汽車，包括燃料電池汽車、混合動(dòng)力汽車、氫能源動(dòng)力汽車和太陽能汽車等，其廢氣排放量比較低，為了配合我國“節(jié)能減排”戰(zhàn)略，某汽車廠決定轉(zhuǎn)型生產(chǎn)新能源汽車中的燃料電池轎車、混合動(dòng)力轎車和氫能源動(dòng)力轎車，每類轎車均有標(biāo)準(zhǔn)型和豪華型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)：

　　燃料電池轎車 混合動(dòng)力轎車 氫能源動(dòng)力轎車 標(biāo)準(zhǔn)型 100 150 y 豪華型 300 450 600 按能源類型用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中燃料電池轎車有10輛.

　　(1)求y的值;

　　(2)用分層抽樣的方法在氫能源動(dòng)力轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2輛轎車，求至少有1輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車的概率;

　　(3)用隨機(jī)抽樣的方法從混合動(dòng)力標(biāo)準(zhǔn)型轎車中抽取10輛進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下：9.3,8.7,9.1,9.5,8.8,9.4,9.0,8.2,9.6,8.4.把這10輛轎車的得分看作一個(gè)樣本，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的值不超過0.4的概率.

　　命題立意：本題主要考查概率與統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力以及分析問題、解決問題的能力.對(duì)于第(1)問，設(shè)該廠這個(gè)月生產(chǎn)轎車n輛，根據(jù)分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有燃料電池轎車10輛，列出關(guān)系式，得到n的值，進(jìn)而得到y(tǒng)值;對(duì)于第(2)問，由題意知本題是一個(gè)古典概型，用列舉法求出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式得到結(jié)果;對(duì)于第(3)問，首先求出樣本的平均數(shù)，求出事件發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式得到結(jié)果.

　　解析：(1)設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意，得

　　=，n=2 000，y=2 000-(100+300)-150-450-600=400.

　　(2)設(shè)所抽樣本中有a輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，由題意得a=2.因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，3輛豪華型轎車，用A1，A2表示2輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用B1，B2，B3表示3輛豪華型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛轎車，其中至少有1輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車”，則總的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個(gè)，事件E包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個(gè)，故所求概率為P(E)=.

　　(3)樣本平均數(shù)=×(9.3+8.7+9.1+9.5+8.8+9.4+9.0+8.2+9.6+8.4)=9.

　　設(shè)D表示事件“從樣本中任取一個(gè)數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的值不超過0.4”，則總的基本事件有10個(gè)，事件D包括的基本事件有9.3,8.7,9.1,8.8,9.4,9.0，共6個(gè).

　　所求概率為P(D)==.

　　(責(zé)任編輯：盧雁明)

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